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Faits d’actualité

De l’arithmétique avec des ondes hélicoïdales

septembre 2008

Le front d’onde d’un faisceau électromagnétique ou acoustique est la caractéristique qui sert usuellement à leur dénomination : ondes plane ou sphérique et, moins connus, « vortex » pour lesquels la structure spatiale est une hélice. Cette dernière structure confère à l’onde un moment cinétique et ses nombreuses propriétés ont motivé le développement d’un nouveau domaine d’étude intitulé « les singularités en optique ». Nous venons de montrer que les combinaisons non linéaires de vortex permettent de réaliser des opérations d’addition et de soustraction.

Une onde est caractérisée par son amplitude, sa phase et sa polarisation. Dans certaines circonstances, une de ces quantités est singulière. Les singularités de phase sont de deux types : les dislocations en coin ou en hélice, cette terminologie vient de la cristallographie mais les surfaces d’équiphases jouent le rôle des plans atomiques. Les dislocations en hélice sont caractérisées par un front d’onde hélicoïdal. La phase croit linéairement en fonction de l’angle autour de l’axe de propagation sur lequel la phase est singulière. La phase subit donc un nombre entier de saut de valeur 2π. Cet entier est appelé charge topologique, son signe indiquant par convention que l’hélice est droite ou gauche. Cette charge topologique est générique et stable en acoustique, en optique ou encore en mécanique quantique. Parmi ses nombreuses propriétés, le codage numérique d’information dans le front d’onde est intéressant pour augmenter la quantité d’information transmise. Nous montrons que, outre le transport de l’information, il est également possible de réaliser des opérations sur ces nombres.
En régime non-linéaire, la charge topologique suit une loi précise [1], l’onde secondaire issue d’une interaction non-linéaire entre 2 ondes possède une charge topologique qui est la somme de celles des ondes primaires dont elle est issue. Ici, [2], cette propriété est utilisée dans une configuration dite d’antenne paramétrique acoustique pour laquelle deux ondes primaires de même axe principal mais de fréquences légèrement décalées et de charges topologiques différentes interagissent non linéairement. Dans cette configuration, l’interaction non- linéaire réalise des opérations mathématiques simples, addition et soustraction, sur les charges topologiques portées par les ondes. Dans le cas de figure où les fréquences des ondes primaires sont dans un rapport commensurable, des états de même fréquence, mais dont la charge diffère, coexistent. L’énergie des différentes ondes impliquées permet de prédire la charge de cet état particulier et il est possible de changer le résultat par une simple modulation des amplitudes des ondes primaires.

(c)INSP

Mesure de la phase de l’onde dans un plan transverse à son axe de propagation.

Les ondes primaires sont |f1> et |f2> et leur charges topologiques respectives sont M|f1>=1 et M|f2> =1. Les états présentés sont a) M|f2-f1>=0 ; b) M|f1>=1 ; c) M|f2>=1 ; d) M|f1+f1>=2 ; e) M|f2+f2>=2 ; f) M|f1+f2>=2 ; g) M|2.f1+f2>=3 ; h) M|f1+2.f2>=3 ;

Pour en savoir plus

[1] Pseudo angular momentum and topological charge conservation for non linear acoustical vortices, Jean-Louis Thomas and Régis MarchianoPhys. Rev. Letters, 91, 244302 (2003)
[2] Doing arithmetic with vortices, Régis Marchiano, Jean-Louis Thomas, Phys. Rev. Letters, 101, 064301 (2008)