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Focalisation d’une onde élastique dans un cristal phononique : pourquoi la tâche focale est-elle plus large que prévu ?

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La trajectoire d’une onde élastique se propageant dans un cristal phononique présentant un gradient de ses propriétés élastiques peut, dans certains cas, être calculée rigoureusement. Toutefois, lorsque l’on fait l’expérience, ou que l’on simule par éléments finis les déplacements acoustiques à la surface du système, on trouve un résultat qui peut être significativement différent de ce que prévoit la théorie. La raison généralement avancée pour expliquer ces écarts, est que dans le système réel le gradient n’est pas continu, contrairement aux hypothèses du calcul analytique. En considérant le vecteur d’onde acoustique et la vitesse de groupe comme des paramètres locaux, des chercheurs de l’équipe « Acoustique pour les nanosciences » de l’INSP ont montré que la véritable explication se trouvait dans la forme des contours équi-fréquence qui, dans certaines parties de la lentille, peuvent s’écarter notablement d’un cercle et induire ainsi une anisotropie non désirée.

La qualité d’un système d’imagerie, qu’il soit optique ou acoustique, se mesure par son pouvoir de résolution, c’est-à-dire son aptitude à restituer une image nette de deux points très proches l’un de l’autre. Dans un dispositif conventionnel, cette propriété est bornée, entre autres facteurs, par la limite de diffraction ou par les aberrations sphériques. Depuis quelques années, plusieurs équipes dans le monde ont montré que la limite de diffraction pouvait être dépassée par les lentilles acoustiques à base de cristaux phononiques. Par ailleurs, on peut montrer assez facilement qu’une lentille plane dont l’indice varie le long d’une direction selon une loi en sécante hyperbolique, est exempte d’aberration sphérique. Il vient donc tout naturellement à l’esprit de celui qui veut obtenir une tâche focale la plus petite possible, d’associer ces deux caractéristiques et de concevoir des lentilles acoustiques bidimensionnelles en utilisant des cristaux phononiques présentant un gradient d’indice en sécante hyperbolique.

Les lentilles acoustiques à gradient d’indice que nous avons considérées pour cette étude sont constituées de membranes de silicium, percées de trous. Le gradient d’indice est obtenu, soit en modulant le diamètre des trous selon la direction y, tout en gardant un espacement constant selon les directions x et y (symétrie carrée, cas de la figure 1-a), soit en gardant le diamètre des inclusions constant, mais en modulant leur espacement selon la direction y (symétrie rectangulaire). Les paramètres géométriques sont calculés de façon à ce que l’indice acoustique (rapport des vitesses du son dans la lentille et dans la membrane) suive une loi en sécante hyperbolique.

JPEG Figure 1
(a) Trajectoire d’une onde élastique dans une lentille à gradient d’indice bidimensionnelle.
(b) Contours équi-fréquence calculés en trois points de la trajectoire. La composante selon x du vecteur d’onde se conserve tout au long de la trajectoire.
(c) Cas d’une équi-fréquence non circulaire (point P3). La vitesse de groupe vg, normale à l’équi-fréquence, n’est pas colinéaire au vecteur d’onde k.

Les propriétés de dispersion d’une onde élastique se propageant dans une telle hétérostructure varient le long de l’axe y ; il faut donc recalculer les courbes de dispersion pour chaque ligne d’inclusions telles que celles schématisées sur la figure 1a. Les lignes proches des bords de la lentille ont des taux de remplissage faibles et à basse fréquence, le module du vecteur d’onde est constant, quelle que soit la direction de propagation de l’onde élastique (Points P1 et P2 de la figure 1-b). Il en va tout autrement près de l’axe de la lentille, là où le diamètre des inclusions devient proche des dimensions de la cellule élémentaire. Dans ce cas, les contours équi-fréquence ne sont plus circulaires (point P3 de la figure 1-b et figure 1-c) et la vitesse de groupe n’est colinéaire au vecteur d’onde que selon les axes principaux de l’équi-fréquence. Nous avons montré que, quelle que soit la fréquence dans la première branche de la

zone de Brillouin, l’expression JPEG dans laquelle JPEG rend
parfaitement compte de cette anisotropie locale et permet de calculer les trajectoires acoustiques dans la lentille de symétrie carrée. Dans la relation précédente, kΓM (resp. kΓX) est le module du vecteur d’onde selon la direction ΓM (resp. ΓX) dans la première zone de Brillouin. Nous avons obtenu une expression similaire pour les lentilles de symétrie rectangulaire.

Nous avons mesuré la composante hors-plan d’une onde de Lamb antisymétrique se propageant dans une lentille à gradient d’indice de symétrie carrée. Le modèle précédent rend parfaitement compte des résultats expérimentaux (figure 2). La même expérience reproduite avec une lentille de symétrie rectangulaire donne un accord tout aussi bon.

JPEG Figure 2
Mesure expérimentale des déplacements normaux associés à une onde de Lamb antisymétrique se propageant entre les deux surfaces libres d’une lentille acoustique à gradient d’indice. Les traits en pointillés sont les rayons acoustiques déduits du modèle.

Le modèle que nous avons développé permet de déterminer précisément la distance focale et les dimensions latérales de la tache focale dans les lentilles acoustiques à gradient d’indice, en présence d’anisotropie locale. Il facilite ainsi l’ingénierie de ce type de lentille acoustique et permet de déterminer très simplement les paramètres géométriques qui optimisent la focalisation d’une onde élastique guidée. Ces travaux s’inscrivent dans une perspective plus large qui est l’étude de métamatériaux acoustiques à résonances locales. à terme, les lentilles acoustiques à gradient d’indice décrites ici, serviront à exciter très localement telle ou telle partie de l’hétérostructure.

Référence
« Beam path and focusing of flexural Lamb waves within phononic crystal-based acoustic lenses »
J. Zhao, B. Bonello, R. Marchal, and O. Boyko
New Journal of Physics 16, 063031 (2014)

Contact
Bernard Bonello