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Supraconductivité : la théorie vient de franchir un gap vieux d’un demi-siècle !

Des études théoriques menées à l’INSP*, en collaboration avec l’Institut de Recherches Mathématiques de Rennes, ont montré, que les paires d’électrons corrélés en « paires de Cooper » - qui sont à la base de la compréhension théorique de l’état supraconducteur - ont une énergie moyenne considérablement inférieure au gap, et que plus encore, ces paires ne sont pas toutes dans le même état, contrairement à ce que la théorie proposée par Bardeen, Cooper et Schrieffer, conduisait à croire depuis un demi-siècle !

La découverte expérimentale de la supraconductivité date tout juste de 100 ans. Ce phénomène a tellement étonné, qu’il a fallu attendre une cinquantaine d’années, pour qu’une théorie phénoménologique acceptable soit proposée. Elle repose sur l’existence d’une attraction entre deux électrons - qui normalement se repoussent - mediée par le mouvement des ions. Cette idée, vraiment cruciale et des plus novatrices, n’a pourtant pas valu à Fröhlich l’honneur de partager le prix Nobel avec Bardeen, Cooper et Schrieffer.

Cette attraction entre électrons conduit à les apparier en couples, appelés « paires de Cooper », ce qui donne à ces paires, faites de deux fermions, une nature quantique de type boson. D’où l’idée d’un condensat cohérent de paires de Cooper, toutes dans le même état, comme le feraient des bosons élémentaires dans une condensation BEC** , prédite il y a un siècle par Bose et Einstein.

Bien que ces paires soient de type boson, elles sont quand même faites de deux fermions, et le principe d’exclusion de Pauli - qui fait que deux fermions ne peuvent être dans le même état - doit se faire sentir entre les électrons de ces paires ; ce d’autant plus, que le potentiel d’attraction proposé par Bardeen, Cooper et Schrieffer, dit « potentiel BCS », est pris tel, que les paires de Cooper n’interagissent pas directement par ce potentiel, mais seulement par le principe de Pauli.

Par un calcul variationnel très simple, vue la forme simplifiée du potentiel BCS, on trouve que, quelque soit la force de ce potentiel, l’état avec tous les électrons appariés de la même façon a une énergie plus basse que l’état dit « normal », c’est à dire, sans appariement. Ceci étant, l’énergie de liaison obtenue a été interprétée de manière totalement inacceptable quand on comprend un peu comment les bosons composites interagissent. En particulier, il est dit que l’énergie moyenne des paires est égale au gap supraconducteur alors que celui-ci est considérablement plus grand que l’énergie calculée par Cooper pour une seule paire.

Cette idée ne peut qu’être fausse ! En effet, l’énergie moyenne par paire ne peut que décroître, quand le nombre de paires croît, car les paires se « gênent » à cause du principe d’exclusion de Pauli et augmenter leur nombre, ne peut qu’être défavorable.

Quelques années après la solution variationnelle proposée par Bardeen, Cooper et Schrieffer, Richardson, d’une part, et Gaudin du CEA, d’autre part, ont montré que l’équation de Schrödinger avec un potentiel BCS peut être exactement résolue, quelque soit le nombre de paires. Mais, malheureusement pour eux, ils n’ont fait que la moitié du chemin, ce qui fait que leur superbe résultat, sur l’un des plus grands problèmes de Physique du Solide, n’a pas reçu l’intérêt qu’il mérite.

En effet, Richardson et Gaudin ont écrit l’énergie exacte de N paires sous la forme d’une somme de N paramètres, solutions de N équations non-linéaires, couplées de façon, certes très élégante, mais particulièrement méchante pour une résolution analytique.

Cette résolution est restée un problème mathématique ouvert pendant 45 ans. Nous venons de le casser.

Dans les choses importantes que la solution exacte montre, on trouve que :

(i) l’énergie par paire décroît avec le nombre de paires ; donc elle n’est pas égale au gap, comme nous l’avions intuitivement compris ; (ii) cette décroissance est linéaire, ce qui montre que les paires de Cooper ne se sentent que par le principe de Pauli, et pas du tout par le potentiel BCS, comme nous l’avions aussi compris ; (iii) enfin, les paires ne sont absolument pas toutes condensées dans le même état, comme supposé par Bardeen et accepté par tous après lui.

Ces travaux ont aussi des applications en physique des « gaz froids quantiques » pour l’étude de la transition entre un condensat BEC et un condensat BCS, car les interactions dans ces systèmes sont de fait approximées par un potentiel type BCS.

*Par Monique Combescot (INSP) et Michel Crouzeix (Institut de recherches mathématiques de Rennes (Université RENNES I) et publiés ( « Energy of N Cooper Pairs by Analytically Solving the Richardson-Gaudin Equations for Conventional Superconductors » Michel Crouzeix and Monique Combescot Physics Review Letters 107,267001 (2011))

**BEC pour « Bose-Einstein condensation »